Степени мнимой единицы: как решать

Вычислить степень мнимой единицы.

Определения

Цикличность степеней i

Степени мнимой единицы повторяются с периодом четыре: i, −1, −i, 1, и дальше снова.

Объяснение

Степени мнимой единицы образуют цикл длиной четыре, и это делает вычисление любой степени простым - независимо от того, насколько велик показатель.

Считаем по определению: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = i² · i² = 1. Дальше всё повторяется: i⁵ = i, i⁶ = −1 и так далее.

Отсюда правило: чтобы найти i в любой степени, делят показатель на 4 с остатком и смотрят на остаток. Остаток 0 даёт 1, остаток 1 даёт i, остаток 2 даёт −1, остаток 3 даёт −i.

Для i²⁰²⁵ делим 2025 на 4: получается 506 и остаток 1. Значит ответ i. Никаких вычислений с большими числами не требуется.

Работает это потому, что i⁴ = 1, а единица в любой степени остаётся единицей. Показатель разбивается на полные четвёрки, которые дают единицу, и остаток, который и определяет результат.

Полезно помнить, что сумма четырёх подряд идущих степеней i равна нулю: i + (−1) + (−i) + 1 = 0. Это часто используется в задачах на суммы степеней.

Проверять полезно на малых показателях: посчитайте i⁵ и i⁶ прямым умножением и сравните с правилом остатков.

Тот же приём работает для любой степени, дающей цикл. Например, степени числа −1 образуют цикл длиной два, и там смотрят на чётность показателя.

Отрицательные степени тоже укладываются в цикл: i в минус первой равно минус i, потому что деление на i равносильно умножению на минус i.

Правила и формулы

• Цикл степенейi¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
• Правило остаткаделим показатель на 4 и смотрим остаток
• Соответствиеостаток 0 → 1; 1 → i; 2 → −1; 3 → −i
• Основание правилаi⁴ = 1
• Сумма четырёх подряд степеней равна нулю

Порядок действий

1. Разделите показатель степени на четыре с остатком.
2. Определите остаток.
3. Найдите по нему соответствующее значение.
4. Запишите ответ.
5. Проверьте на близком малом показателе.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут частное вместо остатка.
• Путают соответствие остатков и значений.
• Считают i² равным единице.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Степени i повторяются по кругу через каждые четыре.
• Разделите показатель 194 на 4 с остатком.
• Ответ определяется только остатком.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Комплексные числа»

• Действия с комплексными числами
• Модуль комплексного числа
• Аргумент комплексного числа

Полная справка по разделу — на странице Комплексные числа.