Модуль комплексного числа: как решать
Найти модуль комплексного числа.
Определения
- Модуль комплексного числа
- Расстояние от точки, изображающей число, до начала координат. Равен корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей.
- Комплексная плоскость
- Плоскость, на которой число a + bi изображается точкой с координатами (a; b).
Объяснение
Комплексное число удобно изображать точкой на плоскости: действительная часть по горизонтали, мнимая по вертикали. Тогда становится ясен геометрический смысл всех операций.
Модуль - это расстояние от такой точки до начала координат. Отсюда формула: корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей, то есть та же теорема Пифагора.
Для числа 3 + 4i модуль равен √(9 + 16) = 5. Числа 3 − 4i, −3 + 4i и −3 − 4i имеют тот же модуль: знаки при возведении в квадрат исчезают.
Модуль всегда неотрицателен и равен нулю только для числа ноль. Он обобщает модуль действительного числа: если мнимая часть нулевая, формула даёт обычный модуль.
Полезное свойство: модуль произведения равен произведению модулей. Это позволяет считать модули сложных выражений, не раскрывая скобок.
Другое свойство связывает модуль с сопряжённым: произведение числа на сопряжённое равно квадрату модуля. Именно поэтому домножение на сопряжённое избавляет знаменатель от мнимой части.
Проверять полезно чертежом: отметьте точку на плоскости и оцените расстояние до начала координат на глаз.
Модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между изображающими их точками. Поэтому уравнения вида «модуль разности равен числу» задают окружность.
Правила и формулы
- Модуль
|a + bi| = √(a² + b²) - Пример
|3 + 4i| = 5 - Знаки частей на модуль не влияют
- Модуль произведения
|z₁z₂| = |z₁| · |z₂| - Связь с сопряжённым
z · z̄ = |z|²
Порядок действий
- Определите действительную и мнимую части числа.
- Возведите каждую в квадрат.
- Сложите квадраты.
- Извлеките корень.
- Проверьте: модуль неотрицателен и не меньше модуля каждой части.
Разбор примеров
- Части: 3 и 4.
- Квадраты: 9 и 16.
- Сумма 25, корень 5.
- Знаки не влияют на квадраты.
- Сумма квадратов та же: 25.
- Действительная часть равна нулю.
- √(0 + 25) = 5.
Где обычно ошибаются
- Складывают части без возведения в квадрат.
- Считают модуль только по действительной части.
- Забывают извлечь корень.
Примеры с решением
- |z| = √(a² + b²)
- a² + b² = 81 + 144 = 225
- |z| = √225 = 15
- |z| = √(a² + b²)
- a² + b² = 9 + 16 = 25
- |z| = √25 = 5
- |z| = √(a² + b²)
- a² + b² = 144 + 25 = 169
- |z| = √169 = 13
- |z| = √(a² + b²)
- a² + b² = 1225 + 144 = 1369
- |z| = √1369 = 37
- |z| = √(a² + b²)
- a² + b² = 64 + 36 = 100
- |z| = √100 = 10
Подсказки, если не получается
- Изобразите число точкой на плоскости.
- Модуль — длина отрезка от нуля до этой точки, то есть теорема Пифагора.
- Извлеките корень из 225.
Другие темы раздела «Комплексные числа»
Полная справка по разделу — на странице Комплексные числа.