Комплексные числа

Действия с комплексными числами

Определения

Мнимая единица

Число i, квадрат которого равен минус единице. Введено, чтобы уравнение x² = −1 имело решение.

Комплексное число

Число вида a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть.

Сопряжённое число

Число a − bi для числа a + bi. Отличается знаком мнимой части.

Объяснение

Комплексные числа появились из потребности решать уравнения вроде x² = −1, у которых нет действительных корней. Ввели новое число i с условием i² = −1, и все такие уравнения стали разрешимыми.

Комплексное число записывают как a + bi. Здесь a - действительная часть, b - мнимая. Действительные числа - частный случай, у которого мнимая часть равна нулю.

Складывают и вычитают комплексные числа покомпонентно: отдельно действительные части, отдельно мнимые. Это ровно как приведение подобных в алгебре, где i играет роль буквы.

Умножают как обычные двучлены, раскрывая скобки, а потом заменяют i² на минус единицу. Именно эта замена и делает арифметику комплексных чисел особенной.

Разберём (2 + 3i)(1 − i). Раскрываем: 2 − 2i + 3i − 3i². Приводим подобные: 2 + i − 3i². Заменяем i² на −1: 2 + i + 3 = 5 + i.

Делят с помощью сопряжённого: числитель и знаменатель домножают на число, сопряжённое знаменателю. Тогда в знаменателе получается действительное число, потому что произведение сопряжённых равно сумме квадратов частей.

Проверять умножение полезно повторным счётом с другой группировкой скобок: ошибки здесь почти всегда в знаке при замене i².

Комплексные числа нельзя сравнивать знаками больше и меньше: упорядочить плоскость так, чтобы сохранились свойства неравенств, невозможно. Сравнивать можно только их модули.

Правила и формулы

• Мнимая единицаi² = −1
• Сложение покомпонентно(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Умножение как двучленов с заменой i²(2 + 3i)(1 − i) = 5 + i
• Сопряжённое числодля a + bi это a − bi
• Произведение сопряжённых действительно(a + bi)(a − bi) = a² + b²

Порядок действий

1. Для сложения и вычитания работайте отдельно с действительными и мнимыми частями.
2. Для умножения раскройте скобки как у обычных двучленов.
3. Замените каждое i² на минус единицу.
4. Приведите подобные, собрав действительную и мнимую части.
5. Для деления домножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Заменяют i² на плюс единицу.
• Складывают действительную часть с мнимой.
• При делении домножают только знаменатель.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Модуль комплексного числа

Определения

Модуль комплексного числа

Расстояние от точки, изображающей число, до начала координат. Равен корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей.

Комплексная плоскость

Плоскость, на которой число a + bi изображается точкой с координатами (a; b).

Объяснение

Комплексное число удобно изображать точкой на плоскости: действительная часть по горизонтали, мнимая по вертикали. Тогда становится ясен геометрический смысл всех операций.

Модуль - это расстояние от такой точки до начала координат. Отсюда формула: корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей, то есть та же теорема Пифагора.

Для числа 3 + 4i модуль равен √(9 + 16) = 5. Числа 3 − 4i, −3 + 4i и −3 − 4i имеют тот же модуль: знаки при возведении в квадрат исчезают.

Модуль всегда неотрицателен и равен нулю только для числа ноль. Он обобщает модуль действительного числа: если мнимая часть нулевая, формула даёт обычный модуль.

Полезное свойство: модуль произведения равен произведению модулей. Это позволяет считать модули сложных выражений, не раскрывая скобок.

Другое свойство связывает модуль с сопряжённым: произведение числа на сопряжённое равно квадрату модуля. Именно поэтому домножение на сопряжённое избавляет знаменатель от мнимой части.

Проверять полезно чертежом: отметьте точку на плоскости и оцените расстояние до начала координат на глаз.

Модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между изображающими их точками. Поэтому уравнения вида «модуль разности равен числу» задают окружность.

Правила и формулы

• Модуль|a + bi| = √(a² + b²)
• Пример|3 + 4i| = 5
• Знаки частей на модуль не влияют
• Модуль произведения|z₁z₂| = |z₁| · |z₂|
• Связь с сопряжённымz · z̄ = |z|²

Порядок действий

1. Определите действительную и мнимую части числа.
2. Возведите каждую в квадрат.
3. Сложите квадраты.
4. Извлеките корень.
5. Проверьте: модуль неотрицателен и не меньше модуля каждой части.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают части без возведения в квадрат.
• Считают модуль только по действительной части.
• Забывают извлечь корень.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Степени мнимой единицы

Определения

Цикличность степеней i

Степени мнимой единицы повторяются с периодом четыре: i, −1, −i, 1, и дальше снова.

Объяснение

Степени мнимой единицы образуют цикл длиной четыре, и это делает вычисление любой степени простым - независимо от того, насколько велик показатель.

Считаем по определению: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = i² · i² = 1. Дальше всё повторяется: i⁵ = i, i⁶ = −1 и так далее.

Отсюда правило: чтобы найти i в любой степени, делят показатель на 4 с остатком и смотрят на остаток. Остаток 0 даёт 1, остаток 1 даёт i, остаток 2 даёт −1, остаток 3 даёт −i.

Для i²⁰²⁵ делим 2025 на 4: получается 506 и остаток 1. Значит ответ i. Никаких вычислений с большими числами не требуется.

Работает это потому, что i⁴ = 1, а единица в любой степени остаётся единицей. Показатель разбивается на полные четвёрки, которые дают единицу, и остаток, который и определяет результат.

Полезно помнить, что сумма четырёх подряд идущих степеней i равна нулю: i + (−1) + (−i) + 1 = 0. Это часто используется в задачах на суммы степеней.

Проверять полезно на малых показателях: посчитайте i⁵ и i⁶ прямым умножением и сравните с правилом остатков.

Тот же приём работает для любой степени, дающей цикл. Например, степени числа −1 образуют цикл длиной два, и там смотрят на чётность показателя.

Отрицательные степени тоже укладываются в цикл: i в минус первой равно минус i, потому что деление на i равносильно умножению на минус i.

Правила и формулы

• Цикл степенейi¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
• Правило остаткаделим показатель на 4 и смотрим остаток
• Соответствиеостаток 0 → 1; 1 → i; 2 → −1; 3 → −i
• Основание правилаi⁴ = 1
• Сумма четырёх подряд степеней равна нулю

Порядок действий

1. Разделите показатель степени на четыре с остатком.
2. Определите остаток.
3. Найдите по нему соответствующее значение.
4. Запишите ответ.
5. Проверьте на близком малом показателе.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут частное вместо остатка.
• Путают соответствие остатков и значений.
• Считают i² равным единице.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Аргумент комплексного числа

Определения

Аргумент

Угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим комплексное число.

Главное значение аргумента

Значение аргумента из промежутка от −π до π либо от 0 до 2π, в зависимости от принятого соглашения.

Объяснение

Комплексное число изображается точкой на плоскости, а значит его положение можно задать не только координатами, но и парой «расстояние и направление». Расстояние - это модуль, направление - аргумент.

Аргумент отсчитывают от положительного направления действительной оси против часовой стрелки. Для числа 1 аргумент равен нулю, для i - π/2, для −1 - π.

Аргумент определён с точностью до полного оборота: прибавив 2π, получим тот же угол. Поэтому выделяют главное значение из промежутка длиной 2π.

Находят аргумент через тангенс: он равен отношению мнимой части к действительной. Но одного тангенса мало - надо ещё определить четверть, потому что тангенс одинаков для противоположных направлений.

Разберём число 1 + i. Обе части положительны, значит точка в первой четверти. Тангенс равен 1, что даёт угол 45 градусов, то есть π/4.

Для числа −1 − i тангенс тоже равен 1, но точка в третьей четверти, и аргумент равен −3π/4 или 5π/4 в зависимости от соглашения. Определение четверти здесь и решает.

Аргумент нуля не определён: у нулевого вектора нет направления. Этот случай оговаривают отдельно.

Через модуль и аргумент число записывают в тригонометрической форме. В ней особенно удобно умножать и возводить в степень: модули перемножаются, а аргументы складываются.

Правила и формулы

• Аргумент - угол от действительной оси
• Через тангенсtg φ = b/a
• Обязательно определяют четверть
• Характерные значенияarg 1 = 0, arg i = π/2, arg(−1) = π
• Аргумент нуля не определён

Порядок действий

1. Определите действительную и мнимую части.
2. Определите, в какой четверти лежит точка.
3. Посчитайте отношение мнимой части к действительной.
4. Найдите угол по тангенсу.
5. Скорректируйте его с учётом четверти.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Определяют угол только по тангенсу, не глядя на четверть.
• Путают аргумент с модулем.
• Ищут аргумент нулевого числа.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней