Аргумент комплексного числа: как решать

Найти аргумент комплексного числа.

Определения

Аргумент: Угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим комплексное число.
Главное значение аргумента: Значение аргумента из промежутка от −π до π либо от 0 до 2π, в зависимости от принятого соглашения.

Объяснение

Комплексное число изображается точкой на плоскости, а значит его положение можно задать не только координатами, но и парой «расстояние и направление». Расстояние - это модуль, направление - аргумент.

Аргумент отсчитывают от положительного направления действительной оси против часовой стрелки. Для числа 1 аргумент равен нулю, для i - π/2, для −1 - π.

Аргумент определён с точностью до полного оборота: прибавив 2π, получим тот же угол. Поэтому выделяют главное значение из промежутка длиной 2π.

Находят аргумент через тангенс: он равен отношению мнимой части к действительной. Но одного тангенса мало - надо ещё определить четверть, потому что тангенс одинаков для противоположных направлений.

Разберём число 1 + i. Обе части положительны, значит точка в первой четверти. Тангенс равен 1, что даёт угол 45 градусов, то есть π/4.

Для числа −1 − i тангенс тоже равен 1, но точка в третьей четверти, и аргумент равен −3π/4 или 5π/4 в зависимости от соглашения. Определение четверти здесь и решает.

Аргумент нуля не определён: у нулевого вектора нет направления. Этот случай оговаривают отдельно.

Через модуль и аргумент число записывают в тригонометрической форме. В ней особенно удобно умножать и возводить в степень: модули перемножаются, а аргументы складываются.

Правила и формулы

Аргумент - угол от действительной оси
Через тангенсtg φ = b/a
Обязательно определяют четверть
Характерные значенияarg 1 = 0, arg i = π/2, arg(−1) = π
Аргумент нуля не определён

Порядок действий

Определите действительную и мнимую части.
Определите, в какой четверти лежит точка.
Посчитайте отношение мнимой части к действительной.
Найдите угол по тангенсу.
Скорректируйте его с учётом четверти.

Разбор примеров

Аргумент числа 1 + i

Обе части положительны - первая четверть.
tg φ = 1/1 = 1.
Угол 45 градусов.

Ответ: π/4

Аргумент числа i

Действительная часть равна нулю.
Точка на положительной мнимой полуоси.

Ответ: π/2

Аргумент числа −1

Точка на отрицательной действительной полуоси.
Угол равен половине оборота.

Ответ: π

Где обычно ошибаются

Определяют угол только по тангенсу, не глядя на четверть.
Путают аргумент с модулем.
Ищут аргумент нулевого числа.

Примеры с решением

1. Найдите аргумент комплексного числа z = 1 + i в градусах (от 0° до 360°).

Точка лежит на биссектрисе первой четверти.
arg z = 45°

Ответ: 45

2. Найдите аргумент комплексного числа z = 9 − 9i в градусах (от 0° до 360°).

Точка лежит на биссектрисе четвёртой четверти.
arg z = 315°

Ответ: 315

3. Найдите аргумент комплексного числа z = −6 + 6i в градусах (от 0° до 360°).

Точка лежит на биссектрисе второй четверти.
arg z = 135°

Ответ: 135

4. Найдите аргумент комплексного числа z = −5i в градусах (от 0° до 360°).

Число лежит на отрицательной части мнимой оси.
arg z = 270°

Ответ: 270

5. Найдите аргумент комплексного числа z = 3 + 3i в градусах (от 0° до 360°).

Точка лежит на биссектрисе первой четверти.
arg z = 45°

Ответ: 45

Подсказки, если не получается

Отметьте число точкой на комплексной плоскости.
Аргумент — угол поворота от действительной оси против часовой стрелки.
Точка лежит на биссектрисе первой четверти.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Комплексные числа»

Полная справка по разделу — на странице Комплексные числа.