Действия с комплексными числами: как решать

Выполнить действия с комплексными числами.

Определения

Мнимая единица: Число i, квадрат которого равен минус единице. Введено, чтобы уравнение x² = −1 имело решение.
Комплексное число: Число вида a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть.
Сопряжённое число: Число a − bi для числа a + bi. Отличается знаком мнимой части.

Объяснение

Комплексные числа появились из потребности решать уравнения вроде x² = −1, у которых нет действительных корней. Ввели новое число i с условием i² = −1, и все такие уравнения стали разрешимыми.

Комплексное число записывают как a + bi. Здесь a - действительная часть, b - мнимая. Действительные числа - частный случай, у которого мнимая часть равна нулю.

Складывают и вычитают комплексные числа покомпонентно: отдельно действительные части, отдельно мнимые. Это ровно как приведение подобных в алгебре, где i играет роль буквы.

Умножают как обычные двучлены, раскрывая скобки, а потом заменяют i² на минус единицу. Именно эта замена и делает арифметику комплексных чисел особенной.

Разберём (2 + 3i)(1 − i). Раскрываем: 2 − 2i + 3i − 3i². Приводим подобные: 2 + i − 3i². Заменяем i² на −1: 2 + i + 3 = 5 + i.

Делят с помощью сопряжённого: числитель и знаменатель домножают на число, сопряжённое знаменателю. Тогда в знаменателе получается действительное число, потому что произведение сопряжённых равно сумме квадратов частей.

Проверять умножение полезно повторным счётом с другой группировкой скобок: ошибки здесь почти всегда в знаке при замене i².

Комплексные числа нельзя сравнивать знаками больше и меньше: упорядочить плоскость так, чтобы сохранились свойства неравенств, невозможно. Сравнивать можно только их модули.

Правила и формулы

Мнимая единицаi² = −1
Сложение покомпонентно(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Умножение как двучленов с заменой i²(2 + 3i)(1 − i) = 5 + i
Сопряжённое числодля a + bi это a − bi
Произведение сопряжённых действительно(a + bi)(a − bi) = a² + b²

Порядок действий

Для сложения и вычитания работайте отдельно с действительными и мнимыми частями.
Для умножения раскройте скобки как у обычных двучленов.
Замените каждое i² на минус единицу.
Приведите подобные, собрав действительную и мнимую части.
Для деления домножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю.

Разбор примеров

(2 + 3i) + (1 − i)

Действительные части: 2 + 1 = 3.
Мнимые: 3 − 1 = 2.

Ответ: 3 + 2i

(2 + 3i)(1 − i)

Раскрываем: 2 − 2i + 3i − 3i².
Приводим: 2 + i − 3i².
Заменяем i² на −1: 2 + i + 3.

Ответ: 5 + i

(1 + i)(1 − i)

Это произведение сопряжённых.
1² + 1² = 2.

Ответ: 2

Где обычно ошибаются

Заменяют i² на плюс единицу.
Складывают действительную часть с мнимой.
При делении домножают только знаменатель.

Примеры с решением

1. Даны числа z₁ = 4 − 4i и z₂ = 8 − 2i. Найдите мнимую часть произведения z₁ · z₂.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
ad + bc = 4 · −2 + −4 · 8
= −8 + −32 = −40

Ответ: -40

2. Даны числа z₁ = 1 + 4i и z₂ = 5 + 5i. Найдите мнимую часть произведения z₁ · z₂.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
ad + bc = 1 · 5 + 4 · 5
= 5 + 20 = 25

Ответ: 25

3. Даны числа z₁ = −3 + 8i и z₂ = −1 + 7i. Найдите действительную часть произведения z₁ · z₂.

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd·i²
i² = −1, поэтому действительная часть равна ac − bd
−3 · −1 − 8 · 7 = 3 − 56 = −53

Ответ: -53

4. Даны числа z₁ = −3 + 6i и z₂ = 1 + 5i. Найдите действительную часть суммы z₁ + z₂.

z₁ + z₂ = ((−3) + 1) + (6 + 5)i
= −2 + 11i
Действительная часть равна −2

Ответ: -2

5. Даны числа z₁ = 1 + 6i и z₂ = 5i. Найдите мнимую часть суммы z₁ + z₂.

z₁ + z₂ = (1 + 0) + (6 + 5)i
= 1 + 11i
Мнимая часть равна 11

Ответ: 11

Подсказки, если не получается

Соберите слагаемые, содержащие i.
Это adi и bci.
Мнимая часть: ad + bc.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Комплексные числа»

Полная справка по разделу — на странице Комплексные числа.