Относительная погрешность: как решать

Найти относительную погрешность в процентах.

Определения

Относительная погрешность

Отношение абсолютной погрешности к точному значению, обычно выраженное в процентах. Показывает, насколько ошибка велика по сравнению с самой величиной.

Объяснение

Абсолютная погрешность говорит, на сколько ошиблись, но не говорит, много это или мало. Ошибка в один метр при измерении комнаты - катастрофа, а при измерении длины улицы - мелочь. Чтобы сравнивать качество измерений разных величин, нужна относительная погрешность.

Она равна отношению абсолютной погрешности к точному значению. Отношение получается безразмерным - единицы сокращаются, - и именно поэтому его можно сравнивать для совершенно разных измерений. Обычно результат выражают в процентах, умножая на сто.

Разберём на числах. Абсолютная погрешность 2 при точном значении 48 даёт относительную 2 : 48 ≈ 0,0417, то есть примерно 4,2 %. Та же абсолютная погрешность 2 при точном значении 1000 даёт всего 0,2 % - измерение куда более качественное.

Знаменателем берут точное значение. Если оно неизвестно, допускают взять приближённое - при малой погрешности разница в результате будет незначительной. Но если погрешность велика, выбор знаменателя начинает влиять, и надо оговаривать, что именно взято за базу.

Относительную погрешность используют, чтобы оценивать надёжность результата. Погрешность до одного процента обычно считают хорошей точностью для школьных измерений, пять процентов - приемлемой, а вот двадцать процентов означают, что измерение мало что даёт.

При вычислениях погрешности накапливаются: при умножении и делении относительные погрешности складываются. Поэтому длинная цепочка приближённых вычислений может дать результат заметно хуже, чем каждое отдельное измерение.

Правила и формулы

• Относительная погрешностьδ = Δ : a
• В процентахδ = Δ : a · 100 %
• Величина безразмерная - единицы сокращаются
• Одна и та же абсолютная погрешность даёт разную относительную2 от 48 это 4,2 %, а 2 от 1000 это 0,2 %
• При умножении относительные погрешности складываются

Порядок действий

1. Найдите абсолютную погрешность как модуль разности.
2. Разделите её на точное значение.
3. Умножьте на сто, чтобы получить проценты.
4. Округлите результат до нужной точности.
5. Оцените, приемлема ли такая погрешность для задачи.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Делят точное значение на погрешность вместо обратного.
• Забывают умножить на сто и дают ответ в долях вместо процентов.
• Сравнивают качество измерений по абсолютной погрешности вместо относительной.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Относительная погрешность показывает, велика ли ошибка по сравнению с самим числом.
• Раздели 40 на 1000.
• Результат умножь на 100, чтобы получить проценты.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Приближённые вычисления»

• Округление чисел
• Абсолютная погрешность
• Среднее геометрическое

Полная справка по разделу — на странице Приближённые вычисления.