Среднее геометрическое: как решать

Найти среднее геометрическое двух чисел.

Определения

Среднее геометрическое: Квадратный корень из произведения двух положительных чисел: для 4 и 9 это √(4 · 9) = 6.
Среднее арифметическое: Полусумма чисел: для 4 и 9 это (4 + 9) : 2 = 6,5. Оно всегда не меньше среднего геометрического.

Объяснение

Среднее геометрическое отвечает на вопрос: каким должно быть число, чтобы вместо двух данных множителей взять его дважды и получить то же произведение. Если 4 · 9 = 36, то и 6 · 6 = 36, значит 6 - среднее геометрическое чисел 4 и 9.

Отсюда определение: среднее геометрическое двух положительных чисел равно квадратному корню из их произведения. Требование положительности существенно - под корнем должно стоять неотрицательное число.

Геометрический смысл названия виден в прямоугольнике: среднее геометрическое сторон - это сторона квадрата той же площади. Прямоугольник 4 на 9 имеет площадь 36, и квадрат со стороной 6 имеет такую же площадь.

Среднее геометрическое встречается в геометрии постоянно. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу. Катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё.

Полезно знать соотношение между средними: среднее геометрическое никогда не превосходит среднего арифметического, и равенство достигается только когда числа равны. Для 4 и 9 это 6 и 6,5 - неравенство выполняется. Это соотношение помогает проверить ответ на грубую ошибку.

Среднее геометрическое применяют там, где величины перемножаются, а не складываются: средний темп роста за несколько лет, средний коэффициент. Если цена за два года выросла в 4 раза, а потом в 9, то средний ежегодный рост - в 6 раз, а не в 6,5.

Правила и формулы

Среднее геометрическое√(a · b)
Пример√(4 · 9) = √36 = 6
Определено только для неотрицательных чисел
Не превосходит среднего арифметического√(ab) ≤ (a + b)/2
Равенство только при равных числах

Порядок действий

Убедитесь, что оба числа неотрицательны.
Перемножьте их.
Извлеките квадратный корень из произведения.
Упростите корень, если он не извлекается нацело.
Проверьте: результат не должен превышать среднего арифметического.

Разбор примеров

Среднее геометрическое 4 и 9

Перемножаем: 4 · 9 = 36.
Извлекаем корень: √36 = 6.
Проверка: среднее арифметическое 6,5, и 6 не больше него.

Ответ: 6

Среднее геометрическое 2 и 8

Перемножаем: 2 · 8 = 16.
Корень: √16 = 4.

Ответ: 4

Среднее геометрическое 3 и 12

Перемножаем: 3 · 12 = 36.
Корень: √36 = 6.

Ответ: 6

Где обычно ошибаются

Считают полусумму вместо корня из произведения - это среднее арифметическое.
Извлекают корень из каждого числа отдельно и перемножают результаты.
Применяют формулу к отрицательным числам, где она не определена.

Примеры с решением

1. Найдите среднее геометрическое чисел 1 и 225.

G = √(a · b)
a · b = 1 · 225 = 225
G = √225 = 15

Ответ: 15

2. Найдите среднее геометрическое чисел 1 и 49.

G = √(a · b)
a · b = 1 · 49 = 49
G = √49 = 7

Ответ: 7

3. Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 4.

G = √(a · b)
a · b = 16 · 4 = 64
G = √64 = 8

Ответ: 8

4. Найдите среднее геометрическое чисел 4 и 1.

G = √(a · b)
a · b = 4 · 1 = 4
G = √4 = 2

Ответ: 2

5. Найдите среднее геометрическое чисел 9 и 1.

G = √(a · b)
a · b = 9 · 1 = 9
G = √9 = 3

Ответ: 3

Подсказки, если не получается

Здесь не сложение, а умножение.
Перемножь 1 и 225.
Извлеки квадратный корень из 225.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Приближённые вычисления»

Полная справка по разделу — на странице Приближённые вычисления.