Приближённые вычисления
Округление и погрешности — Выгодский, §35 и §36.
Содержание
- Округление чиселОкруглить число до указанного разряда.
- Абсолютная погрешностьНайти абсолютную погрешность.
- Относительная погрешностьНайти относительную погрешность в процентах.
- Среднее геометрическоеНайти среднее геометрическое двух чисел.
Округление чисел
Определения
- Округление
- Замена числа ближайшим числом с нужным количеством разрядов. Запись 3,47 округлённая до десятых даёт 3,5.
- Разряд округления
- Разряд, до которого округляют: десятки, единицы, десятые, сотые. Все разряды правее него отбрасываются.
- Первая отбрасываемая цифра
- Цифра сразу справа от разряда округления. Именно она решает, увеличивать последний оставленный разряд или нет.
Объяснение
Округление нужно там, где точность избыточна или недостижима. Рост человека не измеряют до микрона, стоимость покупки не считают до сотых долей копейки. Округление сознательно жертвует точностью ради удобства, и делать это надо по правилу, а не на глаз.
Правило простое: смотрим на первую отбрасываемую цифру. Если она 5 или больше, последний оставляемый разряд увеличиваем на единицу. Если меньше пяти, оставляем как есть. Всё, что правее разряда округления, отбрасывается.
Почему граница именно на пяти? Потому что округляют к ближайшему числу. Дробная часть меньше половины ближе к меньшему числу, больше половины - к большему. Ровно половина попадает посередине, и её по соглашению относят к большему.
При округлении целых чисел отброшенные разряды заменяют нулями, а не убирают: 2847 при округлении до сотен даёт 2800, а не 28. Разрядность числа сохраняется, иначе изменится сама величина.
Особый случай - когда увеличение вызывает цепочку переносов. Число 2,97 при округлении до десятых даёт 3,0: девятка в разряде десятых становится десяткой, и единица переходит в целые. Записывать в таком случае надо именно 3,0, а не 3, если требовалась точность до десятых.
При вычислениях округлять надо только окончательный результат. Округление промежуточных значений накапливает ошибку, и в длинной цепочке она может стать заметной. Это правило особенно важно в задачах на проценты и в геометрии.
Правила и формулы
- Смотрим на первую отбрасываемую цифру
- Если она 5 или больше - увеличиваем разряд
3,47 → до десятых → 3,5 - Если меньше 5 - оставляем как есть
3,42 → до десятых → 3,4 - У целых чисел отброшенные разряды заменяют нулями
2847 → до сотен → 2800 - Округляют только окончательный результат
Порядок действий
- Найдите разряд, до которого округляете.
- Посмотрите на цифру сразу справа от него.
- Если она 5 или больше, увеличьте разряд округления на единицу.
- Отбросьте всё правее, у целых чисел заменив нулями.
- Проверьте, не вызвало ли увеличение цепочку переносов.
Разбор примеров
- Разряд десятых - цифра 4.
- Справа стоит 7, это больше пяти.
- Увеличиваем: 4 становится 5.
- Разряд сотен - цифра 8.
- Справа стоит 4, это меньше пяти.
- Оставляем 8, остальное заменяем нулями.
- Разряд десятых - цифра 9.
- Справа стоит 7, увеличиваем девятку.
- Получается 10 десятых - переносим единицу в целые.
Где обычно ошибаются
- У целых чисел отбрасывают разряды вместо замены нулями: из 2847 получают 28.
- Смотрят не на первую отбрасываемую цифру, а на последнюю в числе.
- Округляют промежуточные результаты и накапливают ошибку.
Абсолютная погрешность
Определения
- Точное значение
- Истинное значение величины, обозначается обычно буквой a. В задачах оно даётся или считается известным.
- Приближённое значение
- Число, которым заменяют точное при вычислениях: результат измерения или округления.
- Абсолютная погрешность
- Модуль разности точного и приближённого значений. Показывает, на сколько единиц приближение отличается от истины.
Объяснение
Любое измерение приближённо: линейка имеет цену деления, весы округляют, а число π вообще нельзя записать точно. Поэтому в практических расчётах всегда работают с приближёнными значениями, и полезно уметь сказать, насколько сильно они отличаются от истинных.
Абсолютная погрешность отвечает на вопрос «на сколько ошиблись» и измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Если точное значение 3,14159, а взяли 3,14, то погрешность равна |3,14159 − 3,14| = 0,00159.
Модуль в определении нужен затем, чтобы погрешность не зависела от того, в какую сторону ошиблись. Ошибка в плюс и такая же ошибка в минус одинаково плохи, поэтому знак отбрасывают.
Абсолютная погрешность сама по себе мало что говорит о качестве измерения. Ошибка в один сантиметр при измерении карандаша - грубая, а при измерении расстояния между городами - ничтожная. Поэтому рядом с абсолютной всегда рассматривают относительную погрешность, которая соотносит ошибку с самой величиной.
При округлении погрешность оценивается заранее: она не превосходит половины единицы последнего оставленного разряда. Округлив до десятых, вы гарантированно ошиблись не более чем на 0,05. Это позволяет оценить точность, даже не зная истинного значения.
Записывают результат обычно так: величина плюс-минус погрешность, например 3,14 ± 0,002. Такая запись сразу говорит, в каких границах лежит истинное значение.
Правила и формулы
- Абсолютная погрешность
Δ = |a − a₀| - Измеряется в тех же единицах, что и величина
- Знак отбрасывается модулем
- При округлении погрешность не больше половины последнего разряда
до десятых → Δ ≤ 0,05 - Запись результата
a = 3,14 ± 0,002
Порядок действий
- Выпишите точное и приближённое значения.
- Найдите их разность.
- Возьмите модуль - знак отбрасывается.
- Запишите ответ в тех же единицах, что и величина.
- При необходимости оцените погрешность округления как половину последнего разряда.
Разбор примеров
- Разность: 3,14159 − 3,14 = 0,00159.
- Модуль не меняет числа - оно положительное.
- Разность: 48 − 50 = −2.
- Берём модуль: |−2| = 2.
- Последний разряд - сотые, его единица равна 0,01.
- Погрешность не больше половины: 0,005.
Где обычно ошибаются
- Забывают модуль и получают отрицательную погрешность.
- Считают погрешность в процентах - это уже относительная погрешность.
- Оценивают погрешность округления как весь последний разряд вместо половины.
Относительная погрешность
Определения
- Относительная погрешность
- Отношение абсолютной погрешности к точному значению, обычно выраженное в процентах. Показывает, насколько ошибка велика по сравнению с самой величиной.
Объяснение
Абсолютная погрешность говорит, на сколько ошиблись, но не говорит, много это или мало. Ошибка в один метр при измерении комнаты - катастрофа, а при измерении длины улицы - мелочь. Чтобы сравнивать качество измерений разных величин, нужна относительная погрешность.
Она равна отношению абсолютной погрешности к точному значению. Отношение получается безразмерным - единицы сокращаются, - и именно поэтому его можно сравнивать для совершенно разных измерений. Обычно результат выражают в процентах, умножая на сто.
Разберём на числах. Абсолютная погрешность 2 при точном значении 48 даёт относительную 2 : 48 ≈ 0,0417, то есть примерно 4,2 %. Та же абсолютная погрешность 2 при точном значении 1000 даёт всего 0,2 % - измерение куда более качественное.
Знаменателем берут точное значение. Если оно неизвестно, допускают взять приближённое - при малой погрешности разница в результате будет незначительной. Но если погрешность велика, выбор знаменателя начинает влиять, и надо оговаривать, что именно взято за базу.
Относительную погрешность используют, чтобы оценивать надёжность результата. Погрешность до одного процента обычно считают хорошей точностью для школьных измерений, пять процентов - приемлемой, а вот двадцать процентов означают, что измерение мало что даёт.
При вычислениях погрешности накапливаются: при умножении и делении относительные погрешности складываются. Поэтому длинная цепочка приближённых вычислений может дать результат заметно хуже, чем каждое отдельное измерение.
Правила и формулы
- Относительная погрешность
δ = Δ : a - В процентах
δ = Δ : a · 100 % - Величина безразмерная - единицы сокращаются
- Одна и та же абсолютная погрешность даёт разную относительную
2 от 48 это 4,2 %, а 2 от 1000 это 0,2 % - При умножении относительные погрешности складываются
Порядок действий
- Найдите абсолютную погрешность как модуль разности.
- Разделите её на точное значение.
- Умножьте на сто, чтобы получить проценты.
- Округлите результат до нужной точности.
- Оцените, приемлема ли такая погрешность для задачи.
Разбор примеров
- Абсолютная: |48 − 50| = 2.
- Относительная: 2 : 48 ≈ 0,0417.
- В процентах: 0,0417 · 100 ≈ 4,2 %.
- Абсолютная: |200 − 202| = 2.
- Относительная: 2 : 200 = 0,01.
- В процентах: 1 %.
- Делим: 0,5 : 25 = 0,02.
- Умножаем на сто: 2 %.
Где обычно ошибаются
- Делят точное значение на погрешность вместо обратного.
- Забывают умножить на сто и дают ответ в долях вместо процентов.
- Сравнивают качество измерений по абсолютной погрешности вместо относительной.
Среднее геометрическое
Определения
- Среднее геометрическое
- Квадратный корень из произведения двух положительных чисел: для 4 и 9 это √(4 · 9) = 6.
- Среднее арифметическое
- Полусумма чисел: для 4 и 9 это (4 + 9) : 2 = 6,5. Оно всегда не меньше среднего геометрического.
Объяснение
Среднее геометрическое отвечает на вопрос: каким должно быть число, чтобы вместо двух данных множителей взять его дважды и получить то же произведение. Если 4 · 9 = 36, то и 6 · 6 = 36, значит 6 - среднее геометрическое чисел 4 и 9.
Отсюда определение: среднее геометрическое двух положительных чисел равно квадратному корню из их произведения. Требование положительности существенно - под корнем должно стоять неотрицательное число.
Геометрический смысл названия виден в прямоугольнике: среднее геометрическое сторон - это сторона квадрата той же площади. Прямоугольник 4 на 9 имеет площадь 36, и квадрат со стороной 6 имеет такую же площадь.
Среднее геометрическое встречается в геометрии постоянно. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу. Катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё.
Полезно знать соотношение между средними: среднее геометрическое никогда не превосходит среднего арифметического, и равенство достигается только когда числа равны. Для 4 и 9 это 6 и 6,5 - неравенство выполняется. Это соотношение помогает проверить ответ на грубую ошибку.
Среднее геометрическое применяют там, где величины перемножаются, а не складываются: средний темп роста за несколько лет, средний коэффициент. Если цена за два года выросла в 4 раза, а потом в 9, то средний ежегодный рост - в 6 раз, а не в 6,5.
Правила и формулы
- Среднее геометрическое
√(a · b) - Пример
√(4 · 9) = √36 = 6 - Определено только для неотрицательных чисел
- Не превосходит среднего арифметического
√(ab) ≤ (a + b)/2 - Равенство только при равных числах
Порядок действий
- Убедитесь, что оба числа неотрицательны.
- Перемножьте их.
- Извлеките квадратный корень из произведения.
- Упростите корень, если он не извлекается нацело.
- Проверьте: результат не должен превышать среднего арифметического.
Разбор примеров
- Перемножаем: 4 · 9 = 36.
- Извлекаем корень: √36 = 6.
- Проверка: среднее арифметическое 6,5, и 6 не больше него.
- Перемножаем: 2 · 8 = 16.
- Корень: √16 = 4.
- Перемножаем: 3 · 12 = 36.
- Корень: √36 = 6.
Где обычно ошибаются
- Считают полусумму вместо корня из произведения - это среднее арифметическое.
- Извлекают корень из каждого числа отдельно и перемножают результаты.
- Применяют формулу к отрицательным числам, где она не определена.
Пример с решением
- Сохраняем 1 знак(а) после запятой.
- Первая отбрасываемая цифра 0 — меньше 5, поэтому последнюю сохраняемую оставляем без изменений.
- Ответ: 52,6
- Сохраняем 1 знак(а) после запятой.
- Первая отбрасываемая цифра 5 — не меньше 5, поэтому последнюю сохраняемую усиливаем (увеличиваем на 1).
- Ответ: 75,1
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.