Абсолютная погрешность: как решать
Найти абсолютную погрешность.
Определения
- Точное значение
- Истинное значение величины, обозначается обычно буквой a. В задачах оно даётся или считается известным.
- Приближённое значение
- Число, которым заменяют точное при вычислениях: результат измерения или округления.
- Абсолютная погрешность
- Модуль разности точного и приближённого значений. Показывает, на сколько единиц приближение отличается от истины.
Объяснение
Любое измерение приближённо: линейка имеет цену деления, весы округляют, а число π вообще нельзя записать точно. Поэтому в практических расчётах всегда работают с приближёнными значениями, и полезно уметь сказать, насколько сильно они отличаются от истинных.
Абсолютная погрешность отвечает на вопрос «на сколько ошиблись» и измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Если точное значение 3,14159, а взяли 3,14, то погрешность равна |3,14159 − 3,14| = 0,00159.
Модуль в определении нужен затем, чтобы погрешность не зависела от того, в какую сторону ошиблись. Ошибка в плюс и такая же ошибка в минус одинаково плохи, поэтому знак отбрасывают.
Абсолютная погрешность сама по себе мало что говорит о качестве измерения. Ошибка в один сантиметр при измерении карандаша - грубая, а при измерении расстояния между городами - ничтожная. Поэтому рядом с абсолютной всегда рассматривают относительную погрешность, которая соотносит ошибку с самой величиной.
При округлении погрешность оценивается заранее: она не превосходит половины единицы последнего оставленного разряда. Округлив до десятых, вы гарантированно ошиблись не более чем на 0,05. Это позволяет оценить точность, даже не зная истинного значения.
Записывают результат обычно так: величина плюс-минус погрешность, например 3,14 ± 0,002. Такая запись сразу говорит, в каких границах лежит истинное значение.
Правила и формулы
- Абсолютная погрешность
Δ = |a − a₀| - Измеряется в тех же единицах, что и величина
- Знак отбрасывается модулем
- При округлении погрешность не больше половины последнего разряда
до десятых → Δ ≤ 0,05 - Запись результата
a = 3,14 ± 0,002
Порядок действий
- Выпишите точное и приближённое значения.
- Найдите их разность.
- Возьмите модуль - знак отбрасывается.
- Запишите ответ в тех же единицах, что и величина.
- При необходимости оцените погрешность округления как половину последнего разряда.
Разбор примеров
- Разность: 3,14159 − 3,14 = 0,00159.
- Модуль не меняет числа - оно положительное.
- Разность: 48 − 50 = −2.
- Берём модуль: |−2| = 2.
- Последний разряд - сотые, его единица равна 0,01.
- Погрешность не больше половины: 0,005.
Где обычно ошибаются
- Забывают модуль и получают отрицательную погрешность.
- Считают погрешность в процентах - это уже относительная погрешность.
- Оценивают погрешность округления как весь последний разряд вместо половины.
Примеры с решением
- Δ = |приближённое − точное|
- Δ = |1690 − 1691| = 1
- Δ = |приближённое − точное|
- Δ = |800 − 755| = 45
- Δ = |приближённое − точное|
- Δ = |7500 − 7467| = 33
- Δ = |приближённое − точное|
- Δ = |3370 − 3372| = 2
- Δ = |приближённое − точное|
- Δ = |4300 − 4299| = 1
Подсказки, если не получается
- Погрешность не бывает отрицательной.
- Вычти из большего числа меньшее.
- 1691 − 1690 = ?
Другие темы раздела «Приближённые вычисления»
Полная справка по разделу — на странице Приближённые вычисления.