Задачи на пропорцию: как решать
Задача на прямую пропорциональность.
Определения
- Прямая пропорциональность
- Зависимость, при которой увеличение одной величины во сколько-то раз ведёт к увеличению другой во столько же раз. Их отношение остаётся постоянным.
- Обратная пропорциональность
- Зависимость, при которой увеличение одной величины во сколько-то раз ведёт к уменьшению другой во столько же раз. Постоянным остаётся произведение.
Объяснение
Прежде чем составлять пропорцию, надо решить главный вопрос задачи: величины связаны прямо или обратно. Ошибка здесь делает всё дальнейшее решение бессмысленным, а арифметика при этом может быть безупречной.
Прямая пропорциональность - это когда «больше одного, больше и другого во столько же раз». Больше килограммов - больше стоимость. Больше времени в пути при той же скорости - больше расстояние. Отношение величин при этом постоянно, и его можно приравнять.
Обратная пропорциональность - когда «больше одного, меньше другого во столько же раз». Больше рабочих - меньше времени на ту же работу. Больше скорость - меньше время на тот же путь. Здесь постоянно произведение, и приравнивать надо произведения, а не отношения.
Проверить тип зависимости можно мысленным экспериментом: удвойте одну величину и подумайте, что станет с другой. Если тоже удвоится - зависимость прямая. Если уменьшится вдвое - обратная. Если ничего определённого сказать нельзя, значит величины вообще не пропорциональны, и пропорцию составлять нельзя.
Составляя пропорцию, следят за порядком записи: одноимённые величины должны стоять в одинаковых местах. Если слева в числителе килограммы, то и справа в числителе должны быть килограммы. Перепутанный порядок - вторая по частоте ошибка после неверного типа зависимости.
Проверять ответ надо на здравый смысл: если рабочих стало больше, время обязано уменьшиться. Ответ, противоречащий этому, означает, что зависимость определена неверно.
Правила и формулы
- Прямая пропорциональность: постоянно отношение
a₁/a₂ = b₁/b₂ - Обратная пропорциональность: постоянно произведение
a₁ · b₁ = a₂ · b₂ - Проверка типа: удвойте одну величину и посмотрите на другую
- Одноимённые величины стоят в одинаковых местах пропорции
- Ответ обязан согласоваться со здравым смыслом
Порядок действий
- Определите, какие величины участвуют и как они связаны.
- Проверьте тип зависимости мысленным удвоением.
- Составьте пропорцию, следя за порядком одноимённых величин.
- Найдите неизвестное по основному свойству.
- Проверьте ответ на правдоподобность.
Разбор примеров
- Больше килограммов - больше денег, зависимость прямая.
- Пропорция: 3/5 = 240/x.
- 3x = 5 · 240 = 1200.
- x = 400.
- Меньше рабочих - больше дней, зависимость обратная.
- Произведение постоянно: 4 · 6 = 3 · x.
- 24 = 3x, значит x = 8.
- Проверка: рабочих меньше, дней стало больше.
- Зависимость прямая.
- Пропорция: 1/1000 = 3/x.
- x = 3000 см = 30 м.
Где обычно ошибаются
- Решают обратную зависимость как прямую и получают ответ, противоречащий смыслу.
- Записывают пропорцию с перепутанным порядком одноимённых величин.
- Составляют пропорцию там, где величины вообще не пропорциональны.
Примеры с решением
- Цена одной единицы: 6 : 2 = 3 ₽
- 5 · 3 = 15 ₽
- Цена одной единицы: 32 : 2 = 16 ₽
- 8 · 16 = 128 ₽
- Цена одной единицы: 22 : 2 = 11 ₽
- 3 · 11 = 33 ₽
- Цена одной единицы: 52 : 4 = 13 ₽
- 7 · 13 = 91 ₽
- Цена одной единицы: 24 : 4 = 6 ₽
- 11 · 6 = 66 ₽
Подсказки, если не получается
- Сначала узнай, сколько стоит одна единица.
- Раздели 6 на 2.
- Потом умножь цену одной единицы на нужное количество.
Другие темы раздела «Отношения и пропорции»
Полная справка по разделу — на странице Отношения и пропорции.