Отношения и пропорции
Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. a и d — крайние члены, b и c — средние.
Содержание
- Неизвестный член пропорцииНайти неизвестный член пропорции.
- Задачи на пропорциюЗадача на прямую пропорциональность.
Неизвестный член пропорции
Определения
- Отношение
- Частное двух чисел, показывающее, во сколько раз одно больше другого: отношение 6 к 3 равно 2.
- Пропорция
- Равенство двух отношений: a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами, b и c - средними.
- Основное свойство пропорции
- Произведение крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/d, то a · d = b · c.
Объяснение
Пропорция - это утверждение о том, что два отношения равны. Запись 3/4 = 6/8 говорит, что три относится к четырём так же, как шесть к восьми, то есть в обоих случаях первое число составляет три четверти второго.
Главный рабочий инструмент - основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для 3/4 = 6/8 это значит 3 · 8 = 4 · 6, и действительно 24 = 24. Свойство следует из того, что обе части равенства можно умножить на общий знаменатель.
Из этого свойства и находят неизвестный член. Если в пропорции 3/4 = x/8 неизвестен один член, составляем равенство произведений: 3 · 8 = 4 · x, откуда 24 = 4x и x = 6. Работает независимо от того, какое место занимает неизвестное.
Правило, которое стоит запомнить: неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний; неизвестный средний равен произведению крайних, делённому на известный средний. Но и это правило - лишь пересказ основного свойства, выводить его каждый раз не долго.
Пропорции - основа для многих практических расчётов: перевод единиц, масштаб карты, рецепты, проценты. Задача «на карте масштаба 1:1000 отрезок 3 см, какова длина на местности» - это пропорция 1/1000 = 3/x.
Проверять ответ надо подстановкой: поставьте найденное число на место неизвестного и убедитесь, что произведения крайних и средних совпали. Это надёжнее, чем перечитывать собственные вычисления.
Правила и формулы
- Пропорция
a/b = c/d - Основное свойство
a · d = b · c - Неизвестный крайний член
x = (произведение средних) : (известный крайний) - Неизвестный средний член
x = (произведение крайних) : (известный средний) - Проверка - подстановкой в основное свойство
Порядок действий
- Запишите пропорцию и отметьте, где стоит неизвестное.
- Примените основное свойство: перемножьте крайние и средние.
- Получите уравнение с одним неизвестным.
- Разделите, чтобы найти неизвестное.
- Подставьте ответ обратно и проверьте равенство произведений.
Разбор примеров
- Основное свойство: 3 · 8 = 4 · x.
- 24 = 4x.
- x = 24 : 4 = 6.
- Проверка: 3 · 8 = 24 и 4 · 6 = 24.
- Основное свойство: x · 20 = 5 · 12.
- 20x = 60.
- x = 3.
- Основное свойство: 2 · 15 = x · 6.
- 30 = 6x.
- x = 5.
Где обычно ошибаются
- Перемножают члены не по диагонали, а по строкам.
- При делении путают, на что делить: делят произведение на неизвестный член.
- Не проверяют ответ подстановкой и не замечают арифметической ошибки.
Задачи на пропорцию
Определения
- Прямая пропорциональность
- Зависимость, при которой увеличение одной величины во сколько-то раз ведёт к увеличению другой во столько же раз. Их отношение остаётся постоянным.
- Обратная пропорциональность
- Зависимость, при которой увеличение одной величины во сколько-то раз ведёт к уменьшению другой во столько же раз. Постоянным остаётся произведение.
Объяснение
Прежде чем составлять пропорцию, надо решить главный вопрос задачи: величины связаны прямо или обратно. Ошибка здесь делает всё дальнейшее решение бессмысленным, а арифметика при этом может быть безупречной.
Прямая пропорциональность - это когда «больше одного, больше и другого во столько же раз». Больше килограммов - больше стоимость. Больше времени в пути при той же скорости - больше расстояние. Отношение величин при этом постоянно, и его можно приравнять.
Обратная пропорциональность - когда «больше одного, меньше другого во столько же раз». Больше рабочих - меньше времени на ту же работу. Больше скорость - меньше время на тот же путь. Здесь постоянно произведение, и приравнивать надо произведения, а не отношения.
Проверить тип зависимости можно мысленным экспериментом: удвойте одну величину и подумайте, что станет с другой. Если тоже удвоится - зависимость прямая. Если уменьшится вдвое - обратная. Если ничего определённого сказать нельзя, значит величины вообще не пропорциональны, и пропорцию составлять нельзя.
Составляя пропорцию, следят за порядком записи: одноимённые величины должны стоять в одинаковых местах. Если слева в числителе килограммы, то и справа в числителе должны быть килограммы. Перепутанный порядок - вторая по частоте ошибка после неверного типа зависимости.
Проверять ответ надо на здравый смысл: если рабочих стало больше, время обязано уменьшиться. Ответ, противоречащий этому, означает, что зависимость определена неверно.
Правила и формулы
- Прямая пропорциональность: постоянно отношение
a₁/a₂ = b₁/b₂ - Обратная пропорциональность: постоянно произведение
a₁ · b₁ = a₂ · b₂ - Проверка типа: удвойте одну величину и посмотрите на другую
- Одноимённые величины стоят в одинаковых местах пропорции
- Ответ обязан согласоваться со здравым смыслом
Порядок действий
- Определите, какие величины участвуют и как они связаны.
- Проверьте тип зависимости мысленным удвоением.
- Составьте пропорцию, следя за порядком одноимённых величин.
- Найдите неизвестное по основному свойству.
- Проверьте ответ на правдоподобность.
Разбор примеров
- Больше килограммов - больше денег, зависимость прямая.
- Пропорция: 3/5 = 240/x.
- 3x = 5 · 240 = 1200.
- x = 400.
- Меньше рабочих - больше дней, зависимость обратная.
- Произведение постоянно: 4 · 6 = 3 · x.
- 24 = 3x, значит x = 8.
- Проверка: рабочих меньше, дней стало больше.
- Зависимость прямая.
- Пропорция: 1/1000 = 3/x.
- x = 3000 см = 30 м.
Где обычно ошибаются
- Решают обратную зависимость как прямую и получают ответ, противоречащий смыслу.
- Записывают пропорцию с перепутанным порядком одноимённых величин.
- Составляют пропорцию там, где величины вообще не пропорциональны.
Пример с решением
- Средние члены: x и 36, крайние: 6 и 24.
- x · 36 = 6 · 24
- x = 6·24 : 36 = 4
- Крайние члены: 7 и x, средние: 3 и 14.
- 7 · x = 3 · 14
- x = 3·14 : 7 = 6
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.