Неизвестный член пропорции: как решать

Найти неизвестный член пропорции.

Определения

Отношение: Частное двух чисел, показывающее, во сколько раз одно больше другого: отношение 6 к 3 равно 2.
Пропорция: Равенство двух отношений: a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами, b и c - средними.
Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/d, то a · d = b · c.

Объяснение

Пропорция - это утверждение о том, что два отношения равны. Запись 3/4 = 6/8 говорит, что три относится к четырём так же, как шесть к восьми, то есть в обоих случаях первое число составляет три четверти второго.

Главный рабочий инструмент - основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для 3/4 = 6/8 это значит 3 · 8 = 4 · 6, и действительно 24 = 24. Свойство следует из того, что обе части равенства можно умножить на общий знаменатель.

Из этого свойства и находят неизвестный член. Если в пропорции 3/4 = x/8 неизвестен один член, составляем равенство произведений: 3 · 8 = 4 · x, откуда 24 = 4x и x = 6. Работает независимо от того, какое место занимает неизвестное.

Правило, которое стоит запомнить: неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний; неизвестный средний равен произведению крайних, делённому на известный средний. Но и это правило - лишь пересказ основного свойства, выводить его каждый раз не долго.

Пропорции - основа для многих практических расчётов: перевод единиц, масштаб карты, рецепты, проценты. Задача «на карте масштаба 1:1000 отрезок 3 см, какова длина на местности» - это пропорция 1/1000 = 3/x.

Проверять ответ надо подстановкой: поставьте найденное число на место неизвестного и убедитесь, что произведения крайних и средних совпали. Это надёжнее, чем перечитывать собственные вычисления.

Правила и формулы

Пропорцияa/b = c/d
Основное свойствоa · d = b · c
Неизвестный крайний членx = (произведение средних) : (известный крайний)
Неизвестный средний членx = (произведение крайних) : (известный средний)
Проверка - подстановкой в основное свойство

Порядок действий

Запишите пропорцию и отметьте, где стоит неизвестное.
Примените основное свойство: перемножьте крайние и средние.
Получите уравнение с одним неизвестным.
Разделите, чтобы найти неизвестное.
Подставьте ответ обратно и проверьте равенство произведений.

Разбор примеров

3/4 = x/8

Основное свойство: 3 · 8 = 4 · x.
24 = 4x.
x = 24 : 4 = 6.
Проверка: 3 · 8 = 24 и 4 · 6 = 24.

Ответ: 6

x/5 = 12/20

Основное свойство: x · 20 = 5 · 12.
20x = 60.
x = 3.

Ответ: 3

2/x = 6/15

Основное свойство: 2 · 15 = x · 6.
30 = 6x.
x = 5.

Ответ: 5

Где обычно ошибаются

Перемножают члены не по диагонали, а по строкам.
При делении путают, на что делить: делят произведение на неизвестный член.
Не проверяют ответ подстановкой и не замечают арифметической ошибки.

Примеры с решением

1. Решите пропорцию 6 : x = 36 : 24

Средние члены: x и 36, крайние: 6 и 24.
x · 36 = 6 · 24
x = 6·24 : 36 = 4

Ответ: 4

2. Решите пропорцию 7 : 3 = 14 : x

Крайние члены: 7 и x, средние: 3 и 14.
7 · x = 3 · 14
x = 3·14 : 7 = 6

Ответ: 6

3. Решите пропорцию x : 8 = 9 : 24

Крайние члены: x и 24, средние: 8 и 9.
x · 24 = 8 · 9
x = 8·9 : 24 = 3

Ответ: 3

4. Решите пропорцию 9 : x = 45 : 35

Средние члены: x и 45, крайние: 9 и 35.
x · 45 = 9 · 35
x = 9·35 : 45 = 7

Ответ: 7

5. Решите пропорцию x : 7 = 54 : 42

Крайние члены: x и 42, средние: 7 и 54.
x · 42 = 7 · 54
x = 7·54 : 42 = 9

Ответ: 9

Подсказки, если не получается

Пропорция — это равенство двух отношений.
Произведение крайних членов равно произведению средних.
Перемножь известную пару и раздели на третий член.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Отношения и пропорции»

Задачи на пропорцию

Полная справка по разделу — на странице Отношения и пропорции.